Bei Beschleunigungsspannungen ab ca. 2,7 kV ist es oft notwendig die Geschwindigkeit der Elektronen relativistisch zu betrachten,
da ihre Endgeschwindigkeit hier etwa 10 % der Lichtgeschwindigkeit erreicht.
Diese Seite berechnet zum Vergleich beide Geschwindigkeiten - klassisch und relativistisch. Zusätzlich werden die Geschwindigkeiten in Prozentwerte zur Lichtgeschwindigkeit umgerechnet.
Im grünen Bereich von unterhalb 10% von c ist es noch möglich klassisch zu rechnen, darüber - bis zu c ist der Fehler zu groß, um klassisch sinnvolle Werte zu erhalten.
Färbt sich die Geschwindigkeitsangabe rot, ist ein größerer Wert als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum erreicht und das ist nach aktuellen Erkenntnissen nicht möglich.
Aktuell arbeitet der Teilchenbeschleuniger am Cern mit bis zu 13 TeV - allerdings mit Protonen.
Herleitung der Gleichung zur relativistischen Berechnung:
| Die kinetische Energie EKin eines Elektrons entspricht seiner relativistischen Gesamtenergie Erel abzüglich der Ruheenergie E0: | $$E_{\text{Kin}}=m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2$$ |
| Die kinetische Energie ist nach dem Energieerhaltungssatz gleich der verrichteten Beschleunigungsarbeit des E-Feldes: | $$U_{\text b}\cdot e = m_{\text{rel}}\cdot c^2 - m_{e}\cdot c^2$$ |
| Die relativistische Masse mrel und Ruhemasse me sind über den Lorentzfaktor γ miteinander verknüpft: | $$m_{\text{rel}}=\gamma \cdot m_{e} = \frac{m_{e}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ |
| Einsetzen der relativistischen Masse in die Energiegleichung: | $$U_b \cdot e_m = \frac{m_e \cdot c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-{m_e \cdot c^2}$$ |
| Ausklammern und teilen durch me · c2 liefert: | $$\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1$$ |
| Addieren von 1 und quadrieren führt zu: | $$\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2 = \frac {1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ |
| Kehrwerte bilden, mit -1 multiplizieren und 1 addieren liefert: | $$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}$$ |
| Multiplikation mit c2 und ziehen der Wurzel führt zu: | $${v_{\text{relativistisch}}=c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\left({1+\frac{U_{\text b}\cdot e}{m_{e}\cdot c^2}}\right)^2}}}$$ |